Из точки М к окружности с центром О проведены касательные АМ и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 8.

Рассмотрим окружность с центром O, из точки M проведены касательные AM и MB. 1. OA и OB - радиусы окружности, проведенные к точкам касания A и B. Значит, OA ⊥ AM и OB ⊥ MB. 2. ∠AOB = 120°. 3. Рассмотрим четырехугольник AOBM. ∠OAM = ∠OBM = 90°. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. 4. ∠AMB = 360° - ∠OAM - ∠OBM - ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 120° = 60°. 5. Треугольники OAM и OBM равны (OA = OB - радиусы, OM - общая сторона, углы OAM и OBM прямые). 6. Следовательно, ∠AMO = ∠BMO = ∠AMB / 2 = 60° / 2 = 30°. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. sin(∠AMO) = OA / MO. OA = MO * sin(30°) = 8 * (1/2) = 4. Значит, радиус OA = 4. 8. В треугольнике AOB: OA = OB = 4, ∠AOB = 120°. Найдем AB по теореме косинусов: $$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(∠AOB)$$ $$AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 * 4 * 4 * cos(120°) = 16 + 16 - 32 * (-1/2) = 32 + 16 = 48$$ $$AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Ответ: $$4\sqrt{3}$$