3. Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6V2.

По теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую, т.е.

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

Известно, что $$AB = 6\sqrt{2}$$, $$AD = AC + CD$$, $$CD = 5$$. Тогда $$AD = AC + 5$$. Подставим известные значения в первое уравнение:

$$(6\sqrt{2})^2 = AC \cdot (AC + 5)$$ $$36 \cdot 2 = AC^2 + 5AC$$ $$72 = AC^2 + 5AC$$

Перенесем все в одну сторону:

$$AC^2 + 5AC - 72 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313$$

Тогда корни:

$$AC_1 = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$ $$AC_2 = \frac{-5 - \sqrt{313}}{2}$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берем только положительное решение:

$$AC = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2} \approx \frac{-5 + 17.69}{2} \approx 6.345$$

Ответ: AC = $$\frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$, AC \approx 6.345