3. Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка АС, если CD-5, а длина отрезка касательной равна 6√2.

По теореме о касательной и секущей, квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

$$AB^2 = AC \cdot AD$$

При этом, $$AD = AC + CD$$, следовательно,

$$AB^2 = AC \cdot (AC + CD)$$

Подставим известные значения:

$$(6\sqrt{2})^2 = AC \cdot (AC + 5)$$ $$36 \cdot 2 = AC^2 + 5AC$$ $$72 = AC^2 + 5AC$$ $$AC^2 + 5AC - 72 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 25 + 288 = 313$$ $$AC_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$ $$AC_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{313}}{2}$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то подходит только первое решение:

$$AC = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$

Так как в условии не указано, чему равно $$\sqrt{313}$$, оставим ответ в таком виде

Ответ: $$AC = \frac{-5 + \sqrt{313}}{2}$$