Из пункта А, в пункт В расстояние между которым равно 77 км, вымял катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть x — собственная скорость катера (в км/ч).
   • Скорость катера по течению: x + 4 км/ч.
   • Скорость катера против течения: x - 4 км/ч.
2. Найдем время в пути:
   • Время в пути по течению: $$ t_1 = \frac{77}{x+4} $$ (часов).
   • Время в пути против течения: $$ t_2 = \frac{77}{x-4} $$ (часов).
3. Составим уравнение: По условию, на обратный путь катер затратил на 2 часа меньше, то есть:
   • $$ t_2 = t_1 - 2 $$
   • $$ \frac{77}{x-4} = \frac{77}{x+4} - 2 $$
4. Решим уравнение:
   • Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{77}{x-4} - \frac{77}{x+4} = -2 $$
   • $$ \frac{77(x+4) - 77(x-4)}{(x-4)(x+4)} = -2 $$
   • $$ \frac{77x + 308 - 77x + 308}{x^2 - 16} = -2 $$
   • $$ \frac{616}{x^2 - 16} = -2 $$
   • $$ 616 = -2(x^2 - 16) $$
   • $$ 616 = -2x^2 + 32 $$
   • $$ 2x^2 = 32 - 616 $$
   • $$ 2x^2 = -584 $$
   • $$ x^2 = -292 $$
   Примечание: Полученное уравнение $$ x^2 = -292 $$ не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Вероятно, в условии задачи есть ошибка. Если бы время на обратный путь было на 2 часа больше, то уравнение было бы $$ t_2 = t_1 + 2 $$, что привело бы к $$ \frac{77}{x-4} = \frac{77}{x+4} + 2 $$, и тогда $$ \frac{77(x+4) - 77(x-4)}{(x-4)(x+4)} = 2 $$, $$ \frac{616}{x^2 - 16} = 2 $$, $$ 616 = 2(x^2 - 16) $$, $$ 616 = 2x^2 - 32 $$, $$ 2x^2 = 648 $$, $$ x^2 = 324 $$, $$ x = 18 $$.

Ответ: Задача не имеет решения в действительных числах. Если предположить, что на обратный путь было затрачено на 2 часа БОЛЬШЕ, то ответ 18 км/ч.