Найдите значение выражения \(\frac{2}{2+\sqrt{3}}+2\sqrt{3}\).

Решение:

Чтобы найти значение выражения, сначала избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число:

• \( \frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4-3} = \frac{4-2\sqrt{3}}{1} = 4-2\sqrt{3} \)

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

• \( (4-2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} \)

Слагаемые \( -2\sqrt{3} \) и \( +2\sqrt{3} \) взаимно уничтожаются:

• \( 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4 \)

Ответ: 4.