Из 40 учащихся класса каждый изучает хотя бы один иностранный язык - английский или немецкий. Известно, что 13 учащихся изучают английский язык, а 31 учащихся (учащийся) - немецкий язык. Хотя бы один из этих языков изучают ... учащихся. ... учащихся изучают оба языка — английский и немецкий. Оба языка изучают ... процентов учащихся.

Решение:

Пусть A - множество учащихся, изучающих английский язык, а B - множество учащихся, изучающих немецкий язык.

По условию, общее число учащихся в классе равно 40. Каждый из них изучает хотя бы один из языков, то есть $$|A \cup B| = 40$$.

Также известно, что английский язык изучают 13 учащихся, т.е. $$|A| = 13$$.

Немецкий язык изучают 31 учащийся, т.е. $$|B| = 31$$.

Используем формулу для количества элементов в объединении двух множеств: $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$, где $$|A \cap B|$$ - количество учащихся, изучающих оба языка.

Подставим известные значения: $$40 = 13 + 31 - |A \cap B|$$

Тогда, $$|A \cap B| = 13 + 31 - 40 = 44 - 40 = 4$$. Значит, оба языка изучают 4 учащихся.

Таким образом, хотя бы один из этих языков изучают 40 учащихся (по условию задачи), а оба языка изучают 4 учащихся.

Чтобы найти процент учащихся, изучающих оба языка, разделим количество учащихся, изучающих оба языка, на общее количество учащихся и умножим на 100%:

$$\frac{4}{40} \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$$.

Заполняем пропуски:

Хотя бы один из этих языков изучают 40 учащихся.

4 учащихся изучают оба языка — английский и немецкий.

Оба языка изучают 10 процентов учащихся.