17. Иван задумал двузначное число. Когда это число он умножил на произведение его цифр, то получилось 1764. Какое число задумал Иван?

Ответ: 42

Решение:

Пусть задуманное число равно 10a + b, где a и b — цифры этого числа.

Тогда, по условию задачи:

(10a + b) * a * b = 1764

Разложим число 1764 на простые множители:

1764 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 7 = 2² * 3² * 7²

Теперь нужно подобрать такие значения a и b, чтобы выполнялось условие. Заметим, что 1764 делится на 4, 9 и 49.

Попробуем разные варианты:

• Если a = 1: (10 + b) * b = 1764, что не имеет решений в целых числах.
• Если a = 2: (20 + b) * 2 * b = 1764, (20 + b) * b = 882, что тоже не имеет решений в целых числах.
• Если a = 3: (30 + b) * 3 * b = 1764, (30 + b) * b = 588, что тоже не имеет решений в целых числах.
• Если a = 4: (40 + b) * 4 * b = 1764, (40 + b) * b = 441. Теперь попробуем разные значения b:

Если b = 1: 41 * 1 = 41 (не подходит)

Если b = 2: 42 * 2 = 84 (не подходит)

Если b = 3: 43 * 3 = 129 (не подходит)

Если b = 7: 47 * 7 = 329 (не подходит)

Если b = 9: 49 * 9 = 441 (подходит)

Итак, a = 4 и b = 2, тогда 42 * 4 * 2 = 1764 (нет, 4 * 9 = 36)

Рассмотрим число 42, тогда 42*4*2=336

Проверим другие варианты:

42*2*1=84

Предположим, что искомое число равно 42. В этом случае произведение его цифр равно 4 * 2 = 8. При умножении 42 на 8, получим 336, что не равно 1764.

Попробуем число 49: 4*9=36. Тогда 49*36=1764

Ответ: 49