Итоговая контрольная работа по геометрии за курс 8 класса. Часть 1. Вариант 1.

Решение:

1. Задача 1: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \). \( S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \) квадратных единиц.
2. Задача 2: По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины. \( MN = \frac{1}{2} AC \). \( MN = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \).
3. Задача 3: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если один угол равен 41°, то смежный с ним угол равен \( 180° - 41° = 139° \). Больший угол параллелограмма равен 139°.
4. Задача 4: Высота равнобедренной трапеции равна 5. Большее основание равно 14. Угол при основании равен 45°. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Тогда образуется прямоугольный треугольник с углом 45° и катетом 5. Второй катет этого треугольника (отрезок большего основания) также равен 5, так как тангенс 45° равен 1. Отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, равен 5. Меньшее основание равно \( 14 - 2 \cdot 5 = 14 - 10 = 4 \).
5. Задача 5: Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на \( \sqrt{2} \). \( d = a \sqrt{2} \). \( d = 11\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 11 \cdot 2 = 22 \).
6. Задача 6: Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол \( \angle AOB = 113° \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол \( \angle ACB \), равен \( 360° - 113° = 247° \) (если точка С находится на большей дуге AB), или \( 113° \) (если точка С находится на меньшей дуге AB). Условие, что точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, означает, что угол АСВ будет острым. Следовательно, угол АСВ равен половине меньшего центрального угла, опирающегося на дугу АВ. Так как \( \angle AOB = 113° \) является тупым, он опирается на большую дугу. Меньший центральный угол равен \( 360° - 113° = 247° \) — это неверно, центральный угол не может быть больше 180 градусов. Если \( \angle AOB = 113° \), то он опирается на дугу AB. Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на ту же дугу AB. Тогда \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 113° = 56.5° \).

Ответ: 1. 20; 2. 24; 3. 139°; 4. 4; 5. 22; 6. 56.5°.