Исследовать на экстремум функцию $f(x,y)=4x^2y+24xy+y^2+32y-6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Исследовать на экстремум функцию $f(x,y)=4x^2y+24xy+y^2+32y-6$.$ Фото задания

Accepted Answer

Функция определена и дифференцируема на всей плоскости. Найдём стационарные точки из системы $f_x=0,\ f_y=0$.

$f_x=8xy+24y=8y(x+3)$, $f_y=4x^2+24x+2y+32$. Поэтому

\[\begin{cases}y(x+3)=0,\\2x^2+12x+y+16=0.\end{cases}\]

Если $y=0$, то $x^2+6x+8=0$, откуда $x=-4$ или $x=-2$. Если $x=-3$, то из второго уравнения $y=2$. Стационарные точки: $(-4,0)$, $(-2,0)$, $(-3,2)$.

Вторые производные: $f_{xx}=8y$, $f_{xy}=8x+24$, $f_{yy}=2$. Используем определитель $\Delta=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2$.

В точке $(-4,0)$: $f_{xx}=0$, $f_{xy}=-8$, поэтому $\Delta=-64<0$. Это седловая точка, экстремума нет.
В точке $(-2,0)$: $f_{xx}=0$, $f_{xy}=8$, поэтому $\Delta=-64<0$. Это седловая точка, экстремума нет.
В точке $(-3,2)$: $f_{xx}=16$, $f_{xy}=0$, поэтому $\Delta=32>0$. Так как $f_{xx}>0$, в этой точке локальный минимум. Его значение:
\[f(-3,2)=4\cdot9\cdot2+24\cdot(-3)\cdot2+2^2+32\cdot2-6=-10.\]

Ответ: локальный минимум $f(-3,2)=-10$; точки $(-4,0)$ и $(-2,0)$ — седловые. Локального максимума нет.

Исследовать на экстремум функцию \(f(x,y)=4x^2y+24xy+y^2+32y-6\).