Функция определена и дифференцируема на всей плоскости. Найдём стационарные точки из системы \(f_x=0,\ f_y=0\).

\(f_x=8xy+24y=8y(x+3)\), \(f_y=4x^2+24x+2y+32\). Поэтому

\[\begin{cases}y(x+3)=0,\\2x^2+12x+y+16=0.\end{cases}\]

Если \(y=0\), то \(x^2+6x+8=0\), откуда \(x=-4\) или \(x=-2\). Если \(x=-3\), то из второго уравнения \(y=2\). Стационарные точки: \((-4,0)\), \((-2,0)\), \((-3,2)\).

Вторые производные: \(f_{xx}=8y\), \(f_{xy}=8x+24\), \(f_{yy}=2\). Используем определитель \(\Delta=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2\).

В точке \((-4,0)\): \(f_{xx}=0\), \(f_{xy}=-8\), поэтому \(\Delta=-64<0\). Это седловая точка, экстремума нет.
В точке \((-2,0)\): \(f_{xx}=0\), \(f_{xy}=8\), поэтому \(\Delta=-64<0\). Это седловая точка, экстремума нет.
В точке \((-3,2)\): \(f_{xx}=16\), \(f_{xy}=0\), поэтому \(\Delta=32>0\). Так как \(f_{xx}>0\), в этой точке локальный минимум. Его значение:
\[f(-3,2)=4\cdot9\cdot2+24\cdot(-3)\cdot2+2^2+32\cdot2-6=-10.\]

Ответ: локальный минимум \(f(-3,2)=-10\); точки \((-4,0)\) и \((-2,0)\) — седловые. Локального максимума нет.

Поделись с друзьями