Решение задания 2

Для решения этого задания потребуется график функции (g(x) = x^2 + 4x + 2). Предположим, что график уже построен на основе результатов вычислений из задания 1a.

a) Нули функции и промежутки

1. Нули функции:

Нули функции — это значения (x), при которых (g(x) = 0). Чтобы найти их по графику, нужно определить точки пересечения графика с осью (x).

Решим уравнение аналитически: $$x^2 + 4x + 2 = 0$$

Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 16 - 8 = 8$$

Найдем корни: $$x_{1,2} = rac{-b pm sqrt{D}}{2a} = rac{-4 pm sqrt{8}}{2 cdot 1} = rac{-4 pm 2sqrt{2}}{2} = -2 pm sqrt{2}$$

Таким образом, корни уравнения: $$x_1 = -2 - sqrt{2} approx -3.41$$ $$x_2 = -2 + sqrt{2} approx -0.59$$

2. Промежутки, где (g(x) > 0):

Это промежутки, где график функции находится выше оси (x). Используя найденные нули функции, можно определить, что (g(x) > 0) при (x < -2 - sqrt{2}) и при (x > -2 + sqrt{2}).

Интервальная запись: $$(-infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +infty)$$

3. Промежутки, где (g(x) < 0):

Это промежутки, где график функции находится ниже оси (x). Это происходит между нулями функции.

Интервальная запись: $$(-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$$

б) Промежутки убывания и возрастания, наименьшее значение

1. Промежутки убывания и возрастания:

Функция убывает до вершины параболы и возрастает после нее. Вершина параболы для функции (g(x) = x^2 + 4x + 2) находится в точке:

$$x_v = -rac{b}{2a} = -rac{4}{2 cdot 1} = -2$$

Таким образом, функция убывает на промежутке ((-infty; -2)) и возрастает на промежутке ((-2; +infty)).

2. Наименьшее значение:

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Подставим значение (x_v = -2) в функцию:

$$g(-2) = (-2)^2 + 4 cdot (-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$$

Наименьшее значение функции: (-2).

Итоговый ответ:

• Нули функции: $$x_1 = -2 - \sqrt{2} \approx -3.41, \quad x_2 = -2 + \sqrt{2} \approx -0.59$$
• Промежутки, где (g(x) > 0): $$(-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; +\infty)$$
• Промежутки, где (g(x) < 0): $$(-2 - \sqrt{2}; -2 + \sqrt{2})$$
• Промежуток убывания: $$(-\infty; -2)$$
• Промежуток возрастания: $$(-2; +\infty)$$
• Наименьшее значение: (-2)