Image

Дано уравнение:
\[2x^2 + 5xy - 3y^2 + x + 3y = 0;\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем попытаться разложить левую часть на множители.

Сначала рассмотрим квадратичную часть: $$2x^2 + 5xy - 3y^2$$. Мы ищем два выражения вида $$(ax + by)(cx + dy)$$ такие, что $$ac = 2$$, $$bd = -3$$ и $$ad + bc = 5$$.

Попробуем $$(2x - y)(x + 3y)$$. При раскрытии скобок получим:
\[(2x - y)(x + 3y) = 2x^2 + 6xy - xy - 3y^2 = 2x^2 + 5xy - 3y^2\]

Итак, квадратичная часть разложена правильно. Теперь перепишем исходное уравнение, используя это разложение:
\[(2x - y)(x + 3y) + x + 3y = 0\]

Заметим, что $$(x + 3y)$$ является общим множителем. Вынесем его за скобки:
\[(x + 3y)(2x - y + 1) = 0\]

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. $$x + 3y = 0$$, откуда $$x = -3y$$.
2. $$2x - y + 1 = 0$$, откуда $$y = 2x + 1$$.

Таким образом, решение уравнения состоит из двух прямых:

Ответ:
\[x = -3y \]
\[y = 2x + 1 \]