III. Исследуем. При каких натуральных значениях n значения выражения $$\frac{n^2 + 3n - 2}{n + 2}$$ являются целыми числами?

Преобразуем выражение: $$\frac{n^2 + 3n - 2}{n + 2} = \frac{n(n+2) + n - 2}{n+2} = n + \frac{n - 2}{n+2} = n + \frac{(n+2)-4}{n+2} = n + 1 - \frac{4}{n+2}$$.

Для того, чтобы выражение было целым числом, необходимо чтобы $$\frac{4}{n+2}$$ было целым числом. Это возможно если $$n+2$$ является делителем числа 4, т.е. $$n+2 = 1, 2, 4$$.

1. Если $$n+2 = 1$$, то $$n = -1$$, но по условию n - натуральное число, т.е. $$n > 0$$, значит этот корень не подходит.
2. Если $$n+2 = 2$$, то $$n = 0$$, но по условию n - натуральное число, т.е. $$n > 0$$, значит этот корень не подходит.
3. Если $$n+2 = 4$$, то $$n = 2$$.

Ответ: $$n = 2$$