Решение задачи 513:

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть силы, действующие на груз в верхней и нижней точках траектории.

Обозначим:

• m - масса груза (1,3 кг)
• g - ускорение свободного падения (10 м/с²)
• T_max - максимальная сила натяжения нити (в нижней точке)
• T_min - минимальная сила натяжения нити (в верхней точке)
• v_max - максимальная скорость груза (в нижней точке)
• v_min - минимальная скорость груза (в верхней точке)
• R - радиус окружности (длина нити)

Силы в верхней точке:

В верхней точке на груз действуют сила тяжести (mg), направленная вниз, и сила натяжения нити (T_min), также направленная вниз. Вместе они создают центростремительное ускорение.

$$T_{min} + mg = m \frac{v_{min}^2}{R}$$

Силы в нижней точке:

В нижней точке на груз действуют сила тяжести (mg), направленная вниз, и сила натяжения нити (T_max), направленная вверх. Результирующая этих сил создает центростремительное ускорение.

$$T_{max} - mg = m \frac{v_{max}^2}{R}$$

Закон сохранения энергии:

При движении груза из нижней точки в верхнюю выполняется закон сохранения энергии:

$$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv_{min}^2}{2} + 2mgR$$

Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на m:

$$v_{max}^2 = v_{min}^2 + 4gR$$

Выразим силы натяжения:

Из уравнений для верхней и нижней точек выразим силы натяжения:

$$T_{min} = m \frac{v_{min}^2}{R} - mg$$ $$T_{max} = m \frac{v_{max}^2}{R} + mg$$

Найдем разницу сил натяжения:

Вычтем T_min из T_max:

$$T_{max} - T_{min} = m \frac{v_{max}^2}{R} + mg - (m \frac{v_{min}^2}{R} - mg) = m \frac{v_{max}^2 - v_{min}^2}{R} + 2mg$$

Подставим выражение для v_max² из закона сохранения энергии:

$$T_{max} - T_{min} = m \frac{v_{min}^2 + 4gR - v_{min}^2}{R} + 2mg = m \frac{4gR}{R} + 2mg = 4mg + 2mg = 6mg$$

Вычислим разницу сил:

Подставим значения m и g:

$$T_{max} - T_{min} = 6 * 1.3 \text{ кг} * 10 \text{ м/с}^2 = 78 \text{ Н}$$

Ответ: Максимальная сила натяжения нити больше минимальной на 78 Н.