5.98. Города А и В расположены на реке, причём В ниже по течению. Расстояние между ними равно 30 км. Моторная лодка проходит путь от А до В за 2 ч, а обратно за 3 ч. За какое время проплывёт от А до В плот?

Решение: Пусть (v) - скорость лодки в стоячей воде, (u) - скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна (v + u), а против течения (v - u). Из условия задачи имеем: Расстояние между городами А и В равно 30 км. Время движения лодки из А в В (по течению) равно 2 часам, поэтому: \[2(v + u) = 30\] Время движения лодки из В в А (против течения) равно 3 часам, поэтому: \[3(v - u) = 30\] Получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} 2(v + u) = 30 \\ 3(v - u) = 30 \end{cases} \] Разделим первое уравнение на 2, а второе на 3: \[ \begin{cases} v + u = 15 \\ v - u = 10 \end{cases} \] Сложим эти два уравнения: \[2v = 25\] Отсюда: \[v = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ км/ч}\] Теперь вычтем из первого уравнения второе: \[2u = 5\] Отсюда: \[u = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ км/ч}\] Итак, скорость течения реки (скорость плота) равна 2.5 км/ч. Чтобы найти время, за которое плот проплывёт от А до В, нужно расстояние разделить на скорость: \[t = \frac{30}{2.5} = \frac{300}{25} = 12 \text{ часов}\] Ответ: Плот проплывёт от А до В за **12 часов**.