Решение:

Для упрощения данного выражения необходимо воспользоваться свойствами степеней. Начнем с упрощения числителя и знаменателя по отдельности.

Числитель:

$$24^{-3} \cdot 54^{-4} \cdot (18^{-2})^{-1} \cdot 2^{7} = 24^{-3} \cdot 54^{-4} \cdot 18^{2} \cdot 2^{7}$$

Разложим числа 24, 54 и 18 на простые множители:

$$24 = 2^{3} \cdot 3$$

$$54 = 2 \cdot 3^{3}$$

$$18 = 2 \cdot 3^{2}$$

Подставим разложения в числитель:

$$(2^{3} \cdot 3)^{-3} \cdot (2 \cdot 3^{3})^{-4} \cdot (2 \cdot 3^{2})^{2} \cdot 2^{7} = 2^{-9} \cdot 3^{-3} \cdot 2^{-4} \cdot 3^{-12} \cdot 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 2^{7}$$

Сгруппируем степени с одинаковым основанием:

$$2^{-9-4+2+7} \cdot 3^{-3-12+4} = 2^{-4} \cdot 3^{-11}$$

Знаменатель:

$$({\frac{1}{3}})^{-2} \cdot 0.5^{4} = (3^{-1})^{-2} \cdot (\frac{1}{2})^{4} = 3^{2} \cdot 2^{-4}$$

Выражение в целом:

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$\frac{2^{-4} \cdot 3^{-11}}{3^{2} \cdot 2^{-4}} = 2^{-4-(-4)} \cdot 3^{-11-2} = 2^{0} \cdot 3^{-13} = 1 \cdot 3^{-13} = \frac{1}{3^{13}}$$

Следовательно,

$$\frac{1}{3^{13}} = \frac{1}{1594323}$$

Итоговый ответ:$$\frac{1}{1594323}$$