Контрольные задания > Г. Следствия 1) Площадь прямоугольного треугольника равна 2) Если высоты двух треугольников равны, то сятся как 66 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что a) SABD = SACD; б) диагонали разделяют параллелограмм на четыре рав- новеликих треугольника. Доказательство. а) 1-й способ. По свойству параллелограмма ∆ABD = A. довательно, S = SCDB = 0,5SABCD. Аналогично ∆ACD = = Δ., поэтому Ѕ = SCAB = SABCD. Следова- тельно, SABD = S 2-й способ. Пусть п высота параллелограмма АBCD. Тогда SABD = _ AD. h = SACD. б) Треугольники AOD и АОВ имеют общую высоту АК и равные основания OD и ОВ, следовательно, они равновелики, т. е. S = SAOB. HO SAOD + S = SABD = 0,5SABCD (второе свойство -). Следовательно, SAOD = S = 0,25 SABCD Аналогично SCOD = S COD и СОВ равновелики. Всё, что требовалось, доказано. 67 Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются точке О. Известно, что AO = 4CO, BO = 2OD, SAOB = 24 м². Найдите SABCD Решение. 1) По второму = SAOB + SBOос + площадей SABCD =
Вопрос:

Г. Следствия 1) Площадь прямоугольного треугольника равна 2) Если высоты двух треугольников равны, то сятся как 66 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что a) SABD = SACD; б) диагонали разделяют параллелограмм на четыре рав- новеликих треугольника. Доказательство. а) 1-й способ. По свойству параллелограмма ∆ABD = A. довательно, S = SCDB = 0,5SABCD. Аналогично ∆ACD = = Δ., поэтому Ѕ = SCAB = SABCD. Следова- тельно, SABD = S 2-й способ. Пусть п высота параллелограмма АBCD. Тогда SABD = _ AD. h = SACD. б) Треугольники AOD и АОВ имеют общую высоту АК и равные основания OD и ОВ, следовательно, они равновелики, т. е. S = SAOB. HO SAOD + S = SABD = 0,5SABCD (второе свойство -). Следовательно, SAOD = S = 0,25 SABCD Аналогично SCOD = S COD и СОВ равновелики. Всё, что требовалось, доказано. 67 Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются точке О. Известно, что AO = 4CO, BO = 2OD, SAOB = 24 м². Найдите SABCD Решение. 1) По второму = SAOB + SBOос + площадей SABCD =

Ответ:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
  2. Если высоты двух треугольников равны, то площади этих треугольников относятся как основания.

66

a) Доказательство:

1-й способ.

По свойству параллелограмма \(\Delta ABD = \Delta BCD\). Следовательно, \(S = S_{CDB} = 0{,}5S_{ABCD}\). Аналогично \(\Delta ACD = \Delta ABC\), поэтому \(S = S_{CAB} = 0{,}5 S_{ABCD}\). Следовательно, \(S_{ABD} = S_{ACD}\).

2-й способ.

Пусть h — высота параллелограмма ABCD. Тогда \(S_{ABD} = 0{,}5 AD \cdot h = S_{ACD}\).

б) Треугольники AOD и AOB имеют общую высоту AK и равные основания OD и OB, следовательно, они равновелики, т. е. \(S_{AOD} = S_{AOB}\). Но \(S_{AOD} + S_{AOB} = S_{ABD} = 0{,}5S_{ABCD}\) (второе свойство диагоналей параллелограмма). Следовательно, \(S_{AOD} = S_{AOB} = 0{,}25 S_{ABCD}\).

Аналогично \(S_{COD} = S_{BOC} = 0{,}25 S_{ABCD}\). Следовательно, треугольники AOD, AOB, COD и COB равновелики.

Всё, что требовалось, доказано.

67

Решение:

  1. По свойству площадей четырехугольника, диагонали которого пересекаются в точке O, площадь \(S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD}\).
  2. Так как \(AO = 4CO\) и \(BO = 2OD\), то площадь \(S_{BOC} = 2S_{AOB}\), площадь \(S_{COD} = 0{,}25S_{AOB}\) и площадь \(S_{AOD} = 0{,}5S_{AOB}\).
  3. Тогда площадь \(S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 24 + 2 \cdot 24 + 0{,}25 \cdot 24 + 0{,}5 \cdot 24 = 24 + 48 + 6 + 12 = 90 \text{м}^2\).

Ответ: \(S_{ABCD} = 90 \text{м}^2\).

Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие