Формулы: v_собственная = (v_по течению + v_против течения) / 2 v_течения = (v_по течению - v_против течения) / 2 №1 Расстояние между пристанями А и В катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру - за 12 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями А и В: а) плот; б) катер против течения реки?

Решение:

Дано:

• Время движения катера по течению: \( t_1 = 8 \) мин
• Время движения катера по озеру (без течения): \( t_2 = 12 \) мин

Найти:

• а) время движения плота по течению: \( t_{плот} \)
• б) время движения катера против течения: \( t_{против} \)

Формулы:

• Скорость течения: \( v_{течения} = \frac{v_{по течению} - v_{против течения}}{2} \)
• Собственная скорость катера: \( v_{собственная} = \frac{v_{по течению} + v_{против течения}}{2} \)

Шаг 1: Обозначим переменные.

• Пусть \( S \) — расстояние между пристанями.
• Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера.
• Пусть \( v_т \) — скорость течения.
• Скорость катера по течению: \( v_{по теч} = v_к + v_т \)
• Скорость катера против течения: \( v_{против} = v_к - v_т \)
• Скорость плота равна скорости течения: \( v_{плот} = v_т \)

Шаг 2: Выразим скорости через время и расстояние.

• Из условия известно, что расстояние \( S \) катер проплывает по течению за 8 мин, а по озеру (без течения) за 12 мин.
• \( S = (v_к + v_т) \cdot t_1 \)
• \( S = v_к \cdot t_2 \)
• Отсюда \( v_к \cdot t_2 = (v_к + v_т) \cdot t_1 \)
• \( v_к \cdot 12 = (v_к + v_т) \cdot 8 \)
• \( 12 v_к = 8 v_к + 8 v_т \)
• \( 4 v_к = 8 v_т \)
• \( v_к = 2 v_т \)

Шаг 3: Найдем время движения плота.

Плот движется со скоростью течения \( v_т \). Расстояние \( S \) он проплывет за время \( t_{плот} \):

• \( S = v_{плот} \cdot t_{плот} \)
• \( S = v_т \cdot t_{плот} \)

Мы знаем, что \( S = v_к \cdot t_2 = v_к \cdot 12 \). Подставим \( v_к = 2 v_т \):

• \( S = (2 v_т) \cdot 12 = 24 v_т \)

Теперь приравняем выражения для \( S \):

• \( v_т \cdot t_{плот} = 24 v_т \)
• \( t_{плот} = 24 \) мин

Шаг 4: Найдем время движения катера против течения.

Скорость катера против течения: \( v_{против} = v_к - v_т \). Подставим \( v_к = 2 v_т \):

• \( v_{против} = 2 v_т - v_т = v_т \)

Время движения против течения \( t_{против} \):

• \( S = v_{против} \cdot t_{против} \)
• \( S = v_т \cdot t_{против} \)

Мы уже нашли, что \( S = 24 v_т \).

• \( v_т \cdot t_{против} = 24 v_т \)
• \( t_{против} = 24 \) мин

Ответ: а) плот проплывет расстояние за 24 минуты; б) катер против течения реки проплывет за 24 минуты.