Figure 7: A circle with center O. Points A, B, C are on the circle. Line AB is a chord. OM is perpendicular to AB. MC is a chord. Angle C is 60 degrees. Chord MA has length 10.

Решение:

Дан круг с центром O. \( \angle C = 60^{\circ} \). Угол \( C \) является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.

1. Найдём центральный угол \( \angle AOB \):
   \[ \angle AOB = 2 \cdot \angle C \]
   \[ \angle AOB = 2 \cdot 60^{\circ} \]
   \[ \angle AOB = 120^{\circ} \]
2. Так как OM перпендикулярен AB, OM делит хорду AB пополам и биссектрису \( \angle AOB \). Рассмотрим треугольник \( \triangle AOM \). \( \angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \). \( \angle OMA = 90^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOM \) нам известна длина MA = 10. Мы можем найти OA (радиус круга) и OM.
4. Используем тригонометрию:
   \[ \sin(\angle AOM) = \frac{MA}{OA} \]
   \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{10}{OA} \]
   \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{OA} \]
   \[ OA = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]
5. Теперь найдём OM:
   \[ \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} \]
   \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{OM}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} \]
   \[ \frac{1}{2} = \frac{OM}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} \]
   \[ OM = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \]
6. Найдем длину хорды AB:
   \[ AB = 2 \cdot MA \]
   \[ AB = 2 \cdot 10 \]
   \[ AB = 20 \]

Ответ: Длина хорды AB равна 20. Радиус круга равен \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \). Длина OM равна \( \frac{10\sqrt{3}}{3} \).