Если в трехзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наименьшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Решение:

Пусть трехзначное число имеет вид \( 100a + 10b + c \), где \( a \) — первая цифра (\( a \neq 0 \)), \( b \) — вторая цифра, \( c \) — третья цифра.

Если последнюю цифру \( c \) переставить в начало, получится число \( 100c + 10a + b \).

По условию, новое число на 450 больше первоначального:

\( (100c + 10a + b) - (100a + 10b + c) = 450 \)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\( 100c + 10a + b - 100a - 10b - c = 450 \)

\( 99c - 90a - 9b = 450 \)

Разделим обе части уравнения на 9:

\( 11c - 10a - b = 50 \)

Теперь нужно найти такие цифры \( a, b, c \), чтобы выполнялось это равенство, и чтобы \( a \neq 0 \), \( c \neq 0 \) (так как \( c \) становится первой цифрой нового числа), и \( a, b, c \) были цифрами от 0 до 9.

Перепишем уравнение как \( 11c - 50 = 10a + b \).

Так как \( 10a + b \) — это двузначное число (или число от 0 до 99), то \( 11c - 50 \) должно быть в этом диапазоне. Также \( c \) — цифра от 1 до 9.

Подставим возможные значения \( c \) и проверим:

• Если \( c = 1 \): \( 11(1) - 50 = -39 \) (не подходит)
• Если \( c = 2 \): \( 11(2) - 50 = 22 - 50 = -28 \) (не подходит)
• Если \( c = 3 \): \( 11(3) - 50 = 33 - 50 = -17 \) (не подходит)
• Если \( c = 4 \): \( 11(4) - 50 = 44 - 50 = -6 \) (не подходит)
• Если \( c = 5 \): \( 11(5) - 50 = 55 - 50 = 5 \). Тогда \( 10a + b = 5 \). Возможные пары \( (a, b) \): \( (0, 5) \). Но \( a \) не может быть 0.
• Если \( c = 6 \): \( 11(6) - 50 = 66 - 50 = 16 \). Тогда \( 10a + b = 16 \). Получаем \( a = 1, b = 6 \). Первоначальное число: \( 100(1) + 10(6) + 6 = 166 \). Новое число: \( 100(6) + 10(1) + 6 = 616 \). Проверка: \( 616 - 166 = 450 \). (Подходит!)
• Если \( c = 7 \): \( 11(7) - 50 = 77 - 50 = 27 \). Тогда \( 10a + b = 27 \). Получаем \( a = 2, b = 7 \). Первоначальное число: \( 100(2) + 10(7) + 7 = 277 \). Новое число: \( 100(7) + 10(2) + 7 = 727 \). Проверка: \( 727 - 277 = 450 \). (Подходит!)
• Если \( c = 8 \): \( 11(8) - 50 = 88 - 50 = 38 \). Тогда \( 10a + b = 38 \). Получаем \( a = 3, b = 8 \). Первоначальное число: \( 100(3) + 10(8) + 8 = 388 \). Новое число: \( 100(8) + 10(3) + 8 = 838 \). Проверка: \( 838 - 388 = 450 \). (Подходит!)
• Если \( c = 9 \): \( 11(9) - 50 = 99 - 50 = 49 \). Тогда \( 10a + b = 49 \). Получаем \( a = 4, b = 9 \). Первоначальное число: \( 100(4) + 10(9) + 9 = 499 \). Новое число: \( 100(9) + 10(4) + 9 = 949 \). Проверка: \( 949 - 499 = 450 \). (Подходит!)

Мы нашли несколько чисел, удовлетворяющих условию: 166, 277, 388, 499. Наименьшее из них — 166.

Ответ: Наименьшее первоначальное число — 166.