Две стороны треугольника равны 4 и $$3\sqrt{2}$$, а угол между этими сторонами равен $$45^\circ$$. Решите этот треугольник. (Найдите все стороны и углы треугольника.)

Решим этот треугольник. Дано: $$AC = 4$$, $$AB = 3\sqrt{2}$$, $$\angle A = 45^\circ$$.

Сначала найдем сторону BC по теореме косинусов:

$$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos A$$

$$BC^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$$

$$BC^2 = 16 + 18 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$BC^2 = 34 - 24 = 10$$

$$BC = \sqrt{10}$$

Теперь найдем $$\cos \angle B$$ по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$

$$16 = 18 + 10 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos B$$

$$16 = 28 - 6\sqrt{20} \cdot \cos B$$

$$6\sqrt{20} \cdot \cos B = 12$$

$$\cos B = \frac{12}{6\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

Теперь найдем $$\cos \angle C$$ по теореме косинусов:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$$

$$18 = 16 + 10 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{10} \cdot \cos C$$

$$18 = 26 - 8\sqrt{10} \cdot \cos C$$

$$8\sqrt{10} \cdot \cos C = 8$$

$$\cos C = \frac{8}{8\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Итого:

• $$BC = \sqrt{10}$$
• $$\cos \angle B = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
• $$\cos \angle C = \frac{\sqrt{10}}{10}$$