1. Две стороны треугольника равны 9√2 см и 11 см, а угол между ними - 45°. Найдите третью сторону треугольника. 2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C=45°, ∠A = 60°. Найдите сторону ВС треугольника и радиус описанной около него окружности. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 13 см, 10 см и 7 см. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол С равен 60°, ВС-12 см, АВ-20 см.

Решим задачи по геометрии. 1. Даны две стороны треугольника $$a = 9\sqrt{2}$$ см, $$b = 11$$ см и угол между ними $$\gamma = 45^\circ$$. Нужно найти третью сторону $$c$$ треугольника. Используем теорему косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$$ $$c^2 = (9\sqrt{2})^2 + 11^2 - 2 \cdot 9\sqrt{2} \cdot 11 \cdot \cos(45^\circ)$$ $$c^2 = 81 \cdot 2 + 121 - 2 \cdot 9 \sqrt{2} \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$c^2 = 162 + 121 - 198$$ $$c^2 = 283 - 198 = 85$$ $$c = \sqrt{85}$$ см 2. В треугольнике ABC известно, что $$AB = 3\sqrt{2}$$ см, $$\angle C = 45^\circ$$, $$\angle A = 60^\circ$$. Найдите сторону $$BC$$ треугольника и радиус описанной около него окружности. Сначала найдем угол B: $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$$. По теореме синусов: $$\frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(C)} = 2R$$ $$\frac{BC}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$$ $$BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3}$$ см Радиус описанной окружности: $$2R = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6$$ $$R = 3$$ см 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 13 см, 10 см и 7 см. Пусть $$a = 7$$, $$b = 10$$, $$c = 13$$. Проверим теорему косинусов для самого большого угла (напротив стороны 13): $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$$ $$13^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos(\gamma)$$ $$169 = 49 + 100 - 140 \cos(\gamma)$$ $$169 = 149 - 140 \cos(\gamma)$$ $$20 = -140 \cos(\gamma)$$ $$\cos(\gamma) = -\frac{20}{140} = -\frac{1}{7} < 0$$ Так как косинус угла отрицательный, угол тупой, следовательно, треугольник тупоугольный. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. Пусть одна сторона $$a$$, тогда вторая $$a + 8$$. По теореме косинусов: $$28^2 = a^2 + (a + 8)^2 - 2a(a + 8)\cos(60^\circ)$$ $$784 = a^2 + a^2 + 16a + 64 - 2a(a + 8) \cdot \frac{1}{2}$$ $$784 = 2a^2 + 16a + 64 - a^2 - 8a$$ $$a^2 + 8a - 720 = 0$$ $$D = 64 + 4 \cdot 720 = 64 + 2880 = 2944$$ $$a = \frac{-8 \pm \sqrt{2944}}{2} = \frac{-8 \pm 54.2586}{2}$$ Берем положительное значение: $$a = \frac{46.2586}{2} = 23.1293$$ см $$a + 8 = 31.1293$$ см Периметр: $$P = 28 + 23.1293 + 31.1293 = 82.2586$$ см 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол С равен 60°, ВС=12 см, АВ=20 см. По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin(C)} = 2R$$ $$\frac{20}{\sin(60^\circ)} = 2R$$ $$2R = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$$ $$R = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$ см