Два действительных числа a и b таковы, что выполняется равенство $$a^2 + 6a = 2b^2 + 11b - 15$$. Известно, что если изменить a, то равенство точно перестанет быть верным. Найдите все возможные значения b.

Преобразуем уравнение:

$$a^2 + 6a = 2b^2 + 11b - 15$$

$$a^2 + 6a + 9 = 2b^2 + 11b - 15 + 9$$

$$(a+3)^2 = 2b^2 + 11b - 6$$

Выражение $$(a+3)^2$$ должно быть минимальным, чтобы при малейшем изменении $$a$$ равенство переставало быть верным. Минимальное значение квадрата – это 0.

Поэтому $$(a+3)^2 = 0$$.

Тогда:

$$2b^2 + 11b - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b:

$$D = 11^2 - 4 cdot 2 cdot (-6) = 121 + 48 = 169$$

$$b_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 cdot 2} = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

$$b_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 cdot 2} = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6$$

Ответ: Возможные значения b: 0.5 и -6.