5. (Дополнительное задание). При каком значении р прямая у=2х + р имеет с параболой у = х² + 2х ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

5. Найдем, при каком значении p прямая $$y = -2x + p$$ имеет с параболой $$y = x^2 + 2x$$ ровно одну общую точку.

Чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, приравняем их уравнения:

$$x^2 + 2x = -2x + p$$

$$x^2 + 4x - p = 0$$

Для того чтобы прямая и парабола имели только одну общую точку, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) = 16 + 4p$$

$$16 + 4p = 0$$

$$4p = -16$$

$$p = -4$$

Теперь найдем координаты этой точки. Подставим p = -4 в уравнение $$x^2 + 4x - p = 0$$:

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$

$$(x + 2)^2 = 0$$

$$x = -2$$

Теперь найдем y, подставив x = -2 в уравнение $$y = -2x + p$$:

$$y = -2 \cdot (-2) - 4 = 4 - 4 = 0$$

Ответ: p = -4, координаты точки (-2, 0).