Решение домашнего задания по математике:

1) $$\frac{4+5i}{5-4i} \cdot \frac{3-4i}{4+3i} =$$

Умножим числитель на числитель, знаменатель на знаменатель:

$$\frac{(4+5i)(3-4i)}{(5-4i)(4+3i)} = \frac{12 - 16i + 15i - 20i^2}{20 + 15i - 16i - 12i^2} =$$

Так как $$i^2 = -1$$, то:

$$\frac{12 - i + 20}{20 - i + 12} = \frac{32 - i}{32 - i} = 1$$

Ответ: $$\frac{4+5i}{5-4i} \cdot \frac{3-4i}{4+3i} = 1$$

---

2) $$(i^{205} + i^{347} + i^{104}) \cdot (i^{283} - i^{13}) =$$

Упростим степени $$i$$, зная, что $$i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$$, и степени повторяются с периодом 4:

$$i^{205} = i^{4 \cdot 51 + 1} = i^1 = i$$

$$i^{347} = i^{4 \cdot 86 + 3} = i^3 = -i$$

$$i^{104} = i^{4 \cdot 26} = i^0 = 1$$

$$i^{283} = i^{4 \cdot 70 + 3} = i^3 = -i$$

$$i^{13} = i^{4 \cdot 3 + 1} = i^1 = i$$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$$(i - i + 1) \cdot (-i - i) = 1 \cdot (-2i) = -2i$$

Ответ: $$(i^{205} + i^{347} + i^{104}) \cdot (i^{283} - i^{13}) = -2i$$

---

3) $$4x^2 - 20x + 26 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 26 = 400 - 416 = -16$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 4} = \frac{20 \pm 4i}{8} = \frac{5 \pm i}{2}$$

$$x_1 = \frac{5 + i}{2} = 2.5 + 0.5i$$

$$x_2 = \frac{5 - i}{2} = 2.5 - 0.5i$$

Ответ: Корни квадратного уравнения $$x_1 = 2.5 + 0.5i$$, $$x_2 = 2.5 - 0.5i$$.