Доказательство тождества

1. Преобразуем первое выражение в скобках: $$\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^2(a+5) - a^3}{(a+5)^2} = \frac{a^3 + 5a^2 - a^3}{(a+5)^2} = \frac{5a^2}{(a+5)^2}$$
2. Преобразуем второе выражение в скобках: $$\frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2-25} = \frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{(a-5)(a+5)} = \frac{a(a-5) - a^2}{(a+5)(a-5)} = \frac{a^2 - 5a - a^2}{(a+5)(a-5)} = \frac{-5a}{(a+5)(a-5)}$$
3. Разделим первое выражение на второе: $$\frac{5a^2}{(a+5)^2} : \frac{-5a}{(a+5)(a-5)} = \frac{5a^2}{(a+5)^2} \cdot \frac{(a+5)(a-5)}{-5a} = \frac{a(a-5)}{-(a+5)} = \frac{a^2 - 5a}{-(a+5)} = \frac{5a - a^2}{a+5}$$

Тождество доказано.

Найдём значение выражения

1. Дано: $$x^2 + \frac{49}{x^2} = 50$$
2. Преобразуем выражение, чтобы получить квадрат разности: $$x^2 + \frac{49}{x^2} - 14 = 50 - 14$$ $$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{7}{x} + \frac{49}{x^2} = 36$$ $$\left(x - \frac{7}{x}\right)^2 = 36$$
3. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$x - \frac{7}{x} = \pm \sqrt{36}$$ $$x - \frac{7}{x} = \pm 6$$

Ответ: $$x - \frac{7}{x} = \pm 6$$