Докажите неравенство: 1) $$28a - 32 \le 7a^2 - 4$$ 2) $$9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$$ 3) $$3(b - 1) < b(b + 1)$$ 4) $$(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$$

Решение:

1. $$28a - 32 \le 7a^2 - 4$$ $$7a^2 - 28a + 28 \ge 0$$ $$7(a^2 - 4a + 4) \ge 0$$ $$7(a - 2)^2 \ge 0$$

   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство верно при любом $$a$$.

2. $$9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$$ $$(9x^2 - 6xy + y^2) + 3y^2 \ge 0$$ $$(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$$

   Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна, следовательно, неравенство верно при любых $$x$$ и $$y$$.

3. $$3(b - 1) < b(b + 1)$$ $$3b - 3 < b^2 + b$$ $$b^2 - 2b + 3 > 0$$ $$b^2 - 2b + 1 + 2 > 0$$ $$(b - 1)^2 + 2 > 0$$

   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то неравенство верно при любом $$b$$.

4. $$(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$$ $$4p^2 + 4p - p - 1 - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$$ $$4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$$ $$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$$ $$8 > 0$$

   Так как 8 всегда больше 0, то неравенство верно при любом $$p$$.