5. Докажите, что значение выражения 2√5-1 2√7+1 есть число 1 1 рациональное.

5. Докажите, что значение выражения $$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1}$$ есть число рациональное.

Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1} = \frac{(2\sqrt{7}+1) - (2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7}-1)(2\sqrt{7}+1)} = \frac{2\sqrt{7}+1 - 2\sqrt{7}+1}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28-1} = \frac{2}{27}$$.

Число $$\frac{2}{27}$$ - рациональное, так как его можно представить в виде отношения двух целых чисел.

Ответ: Выражение $$\frac{1}{2\sqrt{7}-1} - \frac{1}{2\sqrt{7}+1}$$ есть число рациональное.