287* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одн сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат н прямой, параллельной данной.

Ответ: Доказательство приведено в решении.

• Пусть дана прямая l и множество точек P на плоскости, расположенных по одну сторону от l и равноудалённых от неё. Обозначим расстояние от каждой точки P до прямой l как d.
• Возьмём две произвольные точки P1 и P2 из множества P. Опустим перпендикуляры из этих точек на прямую l. Обозначим основания перпендикуляров как точки A1 и A2 соответственно. Таким образом, P1A1 ⊥ l, P2A2 ⊥ l, и P1A1 = P2A2 = d.
• Рассмотрим четырёхугольник P1A1A2P2. У него P1A1 = P2A2 = d, и углы P1A1A2 и P2A2A1 прямые (90°).
• Если A1 и A2 совпадают, то P1 и P2 также совпадают, что тривиально. Если A1 и A2 не совпадают, то P1A1 и P2A2 - параллельные прямые.
• Четырёхугольник P1A1A2P2 является прямоугольником, так как у него две стороны (P1A1 и P2A2) равны и параллельны, а все углы прямые.
• Следовательно, P1P2 || A1A2. Так как A1A2 лежит на прямой l, то P1P2 параллельна l.
• Поскольку P1 и P2 - произвольные точки из множества P, то все точки этого множества лежат на прямой, параллельной l и находящейся на расстоянии d от неё.

Ответ: Доказательство приведено в решении.