711. Докажите, что при всех целых п значение выражения: a) n(n - 1) - (n + 3)(n+2) делится на 6; б) n(n + 2) - (n - 7) (п – 5) делится на 7.

Ответ:

a) Докажем, что при всех целых n значение выражения \[n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)\] делится на 6: Раскроем скобки: \[n(n - 1) - (n + 3)(n + 2) = n^2 - n - (n^2 + 2n + 3n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6 = -6n - 6 = -6(n + 1)\] Так как выражение можно представить в виде произведения -6 на целое число (n + 1), то оно делится на 6. б) Докажем, что при всех целых n значение выражения \[n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)\] делится на 7: Раскроем скобки: \[n(n + 2) - (n - 7)(n - 5) = n^2 + 2n - (n^2 - 5n - 7n + 35) = n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 = 14n - 35 = 7(2n - 5)\] Так как выражение можно представить в виде произведения 7 на целое число (2n - 5), то оно делится на 7.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что после упрощения выражения можно вынести делитель за скобки.

Доп. профит: Читерский прием: Если не получается доказать аналитически, подставь несколько значений n и убедись, что результат делится на указанное число.