Решение неравенств:

1) (p – 3) (p + 4) < p(p + 1)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$$p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$$
$$p^2 + p - 12 < p^2 + p$$

Сократим одинаковые члены ($$p^2$$ и $$p$$) в обеих частях:

$$-12 < 0$$

Так как -12 всегда меньше 0, неравенство верно при любом значении p.

2) (x + 1)² > x(x + 2)

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$$

Сократим одинаковые члены ($$x^2$$ и $$2x$$) в обеих частях:

$$1 > 0$$

Так как 1 всегда больше 0, неравенство верно при любом значении x.

3) (a – 5)(a + 2) > (a + 5)(a – 8)

Раскроем скобки:

$$a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$$
$$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$$

Сократим одинаковые члены ($$a^2$$ и $$-3a$$) в обеих частях:

$$-10 > -40$$

Так как -10 всегда больше -40, неравенство верно при любом значении a.

4) y(y + 8) < (y + 4)²

Раскроем скобки:

$$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$$

Сократим одинаковые члены ($$y^2$$ и $$8y$$) в обеих частях:

$$0 < 16$$

Так как 0 всегда меньше 16, неравенство верно при любом значении y.

5) (2a – 5)² ≤ 6a² - 20a + 25

Раскроем скобки:

$$4a^2 - 20a + 25 ≤ 6a^2 - 20a + 25$$

Перенесем все члены в правую часть:

$$0 ≤ 6a^2 - 4a^2 - 20a + 20a + 25 - 25$$
$$0 ≤ 2a^2$$

$$a^2$$ всегда больше или равно 0, следовательно, $$2a^2$$ тоже всегда больше или равно 0. Неравенство верно при любом значении a.

6) a² + 4 ≥ 4a

Перенесем все члены в левую часть:

$$a^2 - 4a + 4 ≥ 0$$

Представим левую часть как полный квадрат:

$$(a - 2)^2 ≥ 0$$

Квадрат любого числа всегда больше или равен 0, следовательно, неравенство верно при любом значении a.