1. Докажите, что если числа а, b, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a² + ab + b², a² + ac + c² и b² + bc + c² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение:

Пусть a, b, c - последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда \(b - a = c - b\), или \(2b = a + c\). Рассмотрим числа \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\) и \(b^2 + bc + c^2\). Чтобы доказать, что они также являются членами арифметической прогрессии, нужно показать, что разность между соседними членами одинакова, то есть: \[(a^2 + ac + c^2) - (a^2 + ab + b^2) = (b^2 + bc + c^2) - (a^2 + ac + c^2)\] Упростим первое выражение: \[a^2 + ac + c^2 - a^2 - ab - b^2 = ac - ab + c^2 - b^2 = a(c - b) + (c - b)(c + b) = (c - b)(a + c + b)\] Теперь упростим второе выражение: \[b^2 + bc + c^2 - a^2 - ac - c^2 = b^2 + bc - a^2 - ac = b(b + c) - a(a + c)\] Подставим \(a + c = 2b\): \[b(b + c) - a(2b) = b^2 + bc - 2ab = b(b + c - 2a)\] Так как \(2b = a + c\), то \(c - b = b - a\). Подставим это в первое выражение: \[(c - b)(a + c + b) = (b - a)(a + c + b)\] Теперь преобразуем второе выражение: \[b^2 + bc - a^2 - ac = b(b + c) - a(a + c) = b(b + c) - a(2b) = b^2 + bc - 2ab\] Учитывая, что \(2b = a + c\), \(c = 2b - a\). Подставим это в первое выражение: \[(b - a)(a + 2b - a + b) = (b - a)(3b) = 3b^2 - 3ab\] И во второе выражение: \[b^2 + b(2b - a) - 2ab = b^2 + 2b^2 - ab - 2ab = 3b^2 - 3ab\] Оба выражения равны \(3b^2 - 3ab\), следовательно, числа \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\) и \(b^2 + bc + c^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: Доказано.