Решение:

1. Докажем, что \(\triangle ABC = \triangle ADC\) (рис. 1):

Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них:

• AB = AD (по условию)
• BC = DC (по условию)
• AC - общая сторона

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по трем сторонам.

2. Является ли биссектрисой угла BCD (рис. 1, 3) луч CA?

На рисунке 1 луч CA является биссектрисой угла BCD, так как \(\triangle ABC = \triangle ADC\), то \(\angle BCA = \angle DCA\). Следовательно, CA - биссектриса угла BCD.

На рисунке 3 луч CA является биссектрисой угла BCD, так как \(\triangle BCF = \triangle DCF\) (по условию следующего пункта) и \(\angle BCF = \angle DCF\). Следовательно, CA - биссектриса угла BCD.

3. Докажем, что \(\triangle BCF = \triangle DCF\) (рис. 1, 3):

Для рис. 1:

Рассмотрим треугольники BCF и DCF. У них:

• BC = DC (по условию)
• \(\angle BCF = \angle DCF\) (так как CA - биссектриса угла BCD)
• CF - общая сторона

Следовательно, \(\triangle BCF = \triangle DCF\) по двум сторонам и углу между ними.

Для рис. 3:

Рассмотрим треугольники BCF и DCF. У них:

• BC = DC (по условию)
• BF = DF (по условию)
• CF - общая сторона

Следовательно, \(\triangle BCF = \triangle DCF\) по трем сторонам.