До какой температуры необходимо охладить газ в трубке, чтобы уровни ртути в трубке и в сосуде сравнялись?

Дано:

• $$h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$ - разница уровней ртути
• $$t_1 = 82 ^\circ\text{C}$$
• $$l = 1 \text{ м}$$ - длина трубки
• $$P_0 = 100 \text{ кПа} = 10^5 \text{ Па}$$ - атмосферное давление

Найти: $$t_2 - ?$$

Решение:

В начальном состоянии давление газа в трубке равно сумме атмосферного давления и давления столба ртути высотой $$h$$. Давление столба ртути можно вычислить по формуле $$P = \rho g h$$, где $$\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$$ - плотность ртути, $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$ - ускорение свободного падения.

$$P_1 = P_0 + \rho g h = 10^5 \text{ Па} + 13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.1 \text{ м} = 10^5 + 13328 \approx 113328 \text{ Па}$$

Объем газа в трубке в начальном состоянии равен $$V_1 = S \cdot l$$, где $$S$$ - площадь сечения трубки. В конечном состоянии, когда уровни ртути сравняются, давление газа в трубке станет равным атмосферному давлению, то есть $$P_2 = P_0 = 10^5 \text{ Па}$$. При этом длина столба газа уменьшится на $$h$$, и объем станет $$V_2 = S \cdot (l-h) = S \cdot (1 - 0.1) = 0.9S$$.

Применим уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа, считая, что количество вещества газа не меняется:

$$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}$$

Переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины: $$T_1 = t_1 + 273.15 = 82 + 273.15 = 355.15 \text{ K}$$.

Выразим $$T_2$$ из уравнения:

$$T_2 = \frac{P_2V_2T_1}{P_1V_1} = \frac{P_0 \cdot 0.9S \cdot T_1}{(P_0 + \rho g h) \cdot S} = \frac{10^5 \cdot 0.9 \cdot 355.15}{113328} \approx 281.6 \text{ K}$$

Переведем обратно в градусы Цельсия: $$t_2 = T_2 - 273.15 = 281.6 - 273.15 = 8.45 ^\circ\text{C}$$.

Ответ: $$t_2 = 8.45 ^\circ\text{C}$$