Решение задачи 61

1) Проверка утверждения на примерах:

Рассмотрим простые числа из третьего и седьмого десятков.

Третий десяток: Простые числа: 23, 29

• 23 - 1 = 22 (не делится на 6), 23 + 1 = 24 (делится на 6)
• 29 - 1 = 28 (не делится на 6), 29 + 1 = 30 (делится на 6)

Седьмой десяток: Простые числа: 61, 67

• 61 - 1 = 60 (делится на 6), 61 + 1 = 62 (не делится на 6)
• 67 - 1 = 66 (делится на 6), 67 + 1 = 68 (не делится на 6)

2) Обсуждение справедливости указанного свойства:

Любое целое число можно представить в виде $$6k + r$$, где $$k$$ - целое число, а $$r$$ - остаток от деления на 6 (то есть $$r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$$). Простое число, большее 5, не может делиться на 2 или 3. Значит, остаток $$r$$ не может быть равен 0, 2, 3 или 4 (иначе число будет делиться на 2 или 3). Следовательно, для простого числа возможны только два варианта: $$6k + 1$$ или $$6k + 5$$.

Если простое число имеет вид $$6k + 1$$, то $$6k + 1 - 1 = 6k$$ делится на 6.

Если простое число имеет вид $$6k + 5$$, то $$6k + 5 + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1)$$ делится на 6.

3) Доказательство:

Пусть $$p$$ - простое число, большее 5. Тогда $$p$$ не делится на 2 и на 3.

Рассмотрим остатки от деления $$p$$ на 6. Возможные остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

• Если $$p$$ дает остаток 0, 2 или 4 при делении на 6, то $$p$$ делится на 2, что противоречит условию.
• Если $$p$$ дает остаток 3 при делении на 6, то $$p$$ делится на 3, что также противоречит условию.

Следовательно, возможны только два случая:

• $$p = 6k + 1$$ для некоторого целого $$k$$. Тогда $$p - 1 = 6k$$ делится на 6.
• $$p = 6k + 5$$ для некоторого целого $$k$$. Тогда $$p + 1 = 6k + 6 = 6(k + 1)$$ делится на 6.

Таким образом, доказано, что любое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.