1. Для проезда из города М в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из города М в город N? 2. Из города А в город С можно проехать лишь с пересадкой в городе В. Из А в В существуют 3 автобусных маршрута и 2 железнодорожных. Из В в С можно проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько существует вариантов проезда из города А в город С? 3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекursников надо выбрать трёх студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов? 4. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? 5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом? 6. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг так, чтобы определённые три книги стояли рядом? 7. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определённые 3 книги не стояли рядом? 8. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах?

1. Для проезда из города M в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из города M в город N? Чтобы добраться из города M в город N, можно воспользоваться либо автобусом, либо поездом. Следовательно, общее количество способов равно сумме числа автобусных и железнодорожных маршрутов. Решение: $$5 + 3 = 8$$ Ответ: 8. 2. Из города А в город С можно проехать лишь с пересадкой в городе В. Из А в В существуют 3 автобусных маршрута и 2 железнодорожных. Из В в С можно проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько существует вариантов проезда из города А в город С? Сначала нужно добраться из города А в город В, а затем из города В в город С. Число способов добраться из А в В равно сумме числа автобусных и железнодорожных маршрутов. Аналогично, число способов добраться из В в С равно сумме числа поездов и автобусов. Решение: Число способов из А в В: $$3 + 2 = 5$$. Число способов из В в С: $$4 + 2 = 6$$. Общее число способов из А в С: $$5 \cdot 6 = 30$$. Ответ: 30. 3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекursников надо выбрать трёх студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов? Нужно выбрать по одному студенту с каждого курса. Количество способов выбора первокурсника - 5, второкурсника - 7, третьекursника - 10. Общее число способов равно произведению числа способов выбора с каждого курса. Решение: $$5 \cdot 7 \cdot 10 = 350$$ Ответ: 350. 4. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? Это задача на перестановки. Количество способов расставить n различных объектов равно n! (n факториал). Решение: $$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3628800$$ Ответ: 3628800. 5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом? Считаем 2 книги по физике за одну. Тогда у нас 9 объектов. Количество способов расставить эти 9 объектов равно 9!. Но 2 книги по физике могут стоять в разном порядке, поэтому умножаем на 2!. Решение: $$9! \cdot 2! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9) \cdot (1 \cdot 2) = 362880 \cdot 2 = 725760$$ Ответ: 725760. 6. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг так, чтобы определённые три книги стояли рядом? Считаем три книги, которые должны стоять рядом, за одну. Тогда у нас 5 объектов: 4 отдельные книги и одна группа из трех книг. Количество способов расставить эти 5 объектов равно 5!. Но внутри группы из трех книг они могут стоять в разном порядке, то есть 3! способами. Поэтому общее число способов равно произведению этих значений. Решение: $$5! \cdot 3! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) = 120 \cdot 6 = 720$$ Ответ: 720. 7. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определённые 3 книги не стояли рядом? Найдем общее число способов расставить 7 книг, и вычтем из этого числа количество способов, когда эти 3 книги стоят рядом. Общее число способов - 7!. Решение: $$7! - 5! \cdot 3! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) - (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3) = 5040 - 720 = 4320$$ Ответ: 4320. 8. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах? Первого учащегося можно посадить на любое из 20 мест, второго - на любое из оставшихся 19 мест, третьего - на любое из 18 мест, четвертого - на любое из 17 мест. Поэтому общее число способов равно произведению этих чисел. Решение: $$20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 = 116280$$ Ответ: 116280.