Решение задачи 563

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением теплового баланса. Предположим, что смешали объем ( V_1 ) холодной воды и объем ( V_2 ) горячей воды.

Известно, что общий объем ванны ( V = V_1 + V_2 = 200 ) л.

Уравнение теплового баланса имеет вид:

$$c \cdot m_1 \cdot (T - T_1) = c \cdot m_2 \cdot (T_2 - T)$$

где:

• ( c ) - удельная теплоемкость воды (постоянная величина, поэтому её можно сократить).
• ( m_1 ) - масса холодной воды.
• ( m_2 ) - масса горячей воды.
• ( T_1 = 10 ) °C - начальная температура холодной воды.
• ( T_2 = 60 ) °C - начальная температура горячей воды.
• ( T = 40 ) °C - конечная температура смеси.

Так как масса ( m = \rho \cdot V ), где ( \rho ) - плотность воды (приблизительно 1 кг/л), уравнение можно переписать через объемы:

$$\rho \cdot V_1 \cdot (T - T_1) = \rho \cdot V_2 \cdot (T_2 - T)$$

Плотность также можно сократить, получим:

$$V_1 \cdot (40 - 10) = V_2 \cdot (60 - 40)$$ $$30 \cdot V_1 = 20 \cdot V_2$$ $$3 \cdot V_1 = 2 \cdot V_2$$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$V_1 + V_2 = 200$$ $$3 \cdot V_1 = 2 \cdot V_2$$

Выразим ( V_1 ) через ( V_2 ) из второго уравнения:

$$V_1 = \frac{2}{3} \cdot V_2$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{2}{3} \cdot V_2 + V_2 = 200$$ $$\frac{5}{3} \cdot V_2 = 200$$ $$V_2 = \frac{3}{5} \cdot 200 = 120 \text{ л}$$

Теперь найдем ( V_1 ):

$$V_1 = 200 - V_2 = 200 - 120 = 80 \text{ л}$$

Ответ: Нужно взять 80 литров холодной воды и 120 литров горячей воды.