Для острого угла α найдите cos α и sin α, если tg α = 2,4.

Для решения данной задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса.

Дано: $$tg \alpha = 2.4$$

Найти: $$cos \alpha = ?$$; $$sin \alpha = ?$$

1. Выразим синус через тангенс и косинус: $$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$
2. Выразим синус: $$sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha$$
3. Подставим в основное тригонометрическое тождество: $$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$
4. $$(tg \alpha \cdot cos \alpha)^2 + cos^2 \alpha = 1$$
5. $$tg^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$$
6. $$cos^2 \alpha (tg^2 \alpha + 1) = 1$$
7. $$cos^2 \alpha = \frac{1}{tg^2 \alpha + 1}$$
8. Подставим значение тангенса: $$cos^2 \alpha = \frac{1}{(2.4)^2 + 1} = \frac{1}{5.76 + 1} = \frac{1}{6.76}$$
9. $$cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{6.76}} = \frac{1}{\sqrt{6.76}} = \frac{1}{2.6}$$ Так как угол острый, косинус положительный.
10. $$cos \alpha = \frac{1}{2.6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$$
11. Найдем синус: $$sin \alpha = tg \alpha \cdot cos \alpha = 2.4 \cdot \frac{5}{13} = \frac{24}{10} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$$

Ответ: $$cos \alpha = \frac{5}{13}$$; $$sin \alpha = \frac{12}{13}$$