Для обогрева помещения с температурой Tп = 22°С через радиатор отопления пропускают горячую воду с температурой Тв = 83°С. Проходя через радиатор воды m = 0,25 кг/с. Проходя по трубе расстояние х метров, вода охлаждается до температуры Т. При этом следующее соотношение х = α ⋅ c ⋅ m / γ ⋅ log2 (Тв - Тп) / (Т - Тп), где α = 0,7 - постоянная величина, с = 4,2 ⋅ 10^3 Дж/(кг⋅С°) - теплоемкость, γ = 21 Вт/(м⋅С°) - коэффициент теплообмена. До какой температуры T охладится вода, пройдя по трубе длиной 35 м?

Решение:

Данные:

• Температура входящей воды: \( T_{в} = 83^{\circ}C \)
• Температура помещения: \( T_{п} = 22^{\circ}C \)
• Массовый расход воды: \( m = 0,25 \text{ кг/с} \)
• Расстояние: \( x = 35 \text{ м} \)
• Коэффициент \( \alpha = 0,7 \)
• Теплоемкость воды: \( c = 4,2 \cdot 10^{3} \text{ Дж/(кг} \cdot {\circ}C) \)
• Коэффициент теплообмена: \( \gamma = 21 \text{ Вт/(м} \cdot {\circ}C) \)

Формула:

\[ x = \frac{\alpha \cdot c \cdot m}{\gamma} \cdot \ln \left( \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}} \right) \]

Подставим известные значения и выразим \( T \).

1. Из формулы выразим логарифм:
\[ \ln \left( \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}} \right) = \frac{x \cdot \gamma}{\alpha \cdot c \cdot m} \]
2. Рассчитаем правую часть:
\[ \frac{35 \text{ м} \cdot 21 \text{ Вт/(м} \cdot {\circ}C)}{0,7 \cdot 4,2 \cdot 10^{3} \text{ Дж/(кг} \cdot {\circ}C) \cdot 0,25 \text{ кг/с}}} = \frac{735}{735} = 1 \]
3. Теперь уравнение выглядит так:
\[ \ln \left( \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}} \right) = 1 \]
4. Воспользуемся определением натурального логарифма ( \( \ln a = 1 \) означает \( a = e \) ):
\[ \frac{T_{в} - T_{п}}{T - T_{п}} = e \]
5. Подставим значения \( T_{в} \) и \( T_{п} \):
\[ \frac{83 - 22}{T - 22} = e \] \[ \frac{61}{T - 22} = e \]
6. Выразим \( T - 22 \):
\[ T - 22 = \frac{61}{e} \]
7. Рассчитаем \( T \), используя \( e \approx 2,718 \):
\[ T - 22 \approx \frac{61}{2,718} \approx 22,44 \] \[ T \approx 22,44 + 22 \approx 44,44^{\circ}C \]

Ответ: Температура охладится примерно до 44,44°C.