Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, точка H – середина отрезка AM. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: a) \(\vec{AM} = k \vec{AC}\); б) \(\vec{MH} = k \vec{AC}\); в) \(\vec{DM} = k \vec{AC}\).

Рассмотрим решение данной задачи.

a) \(\vec{AM} \uparrow\uparrow \vec{AC}\), поэтому искомое число k существует, \(|k| = \frac{|AM|}{|AC|}\) и k ≠ 0. Так как диагонали параллелограмма точкой M делятся пополам, то \(|k| = \frac{1}{2}\). Итак, \(k = \frac{1}{2}\).

б) \(\vec{MH} \uparrow\downarrow \vec{AC}\), поэтому искомое число k \(|k| = \frac{|MH|}{|AC|}\) и k ≠ 0. По условию задачи точка H – середина отрезка AM, следовательно, \(\vec{MH} = \frac{1}{4} \vec{AC}\), поэтому \(|k| = \frac{1}{4}\). Итак, \(k = \frac{1}{4}\).

в) Векторы \(\vec{DM}\) и \(\vec{AC}\) не коллинеарны, поэтому искомого значения k не существует.

Ответ: а) \(k = \frac{1}{2}\); б) \(k = \frac{1}{4}\); в) не существует.