Дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки можно проехать по проселочной дороге вдоль реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по проселочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до Доломино, от Доломино до Горюново по проселочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорки, по проселочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово. Шоссе и проселочные дороги образуют прямоугольные треугольники. По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по проселочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, от Жилино до Богданово — 12 км. Какой маршрут самый быстрый?

Обозначим горизонтальное расстояние между Антоновкой и Богданово через сумму соответствующих участков шоссе.

Из прямоугольных треугольников получаем длины просёлочных дорог:

• Антоновка—Горюново: \(\sqrt{12^2+15^2}=\sqrt{369}=3\sqrt{41}\) км;
• Доломино—Горюново: \(\sqrt{(12+4)^2+15^2}=\sqrt{481}\) км;
• Егорки—Жилино: \(\sqrt{(12+9)^2+15^2}=\sqrt{666}\) км.

Время по маршрутам:

1. вдоль реки: \(\frac{\sqrt{369}}{30}+\frac{27}{50}\approx1.44\) ч;
2. через Ванютино: \(\frac{12+15+9+12}{50}=0.96\) ч;
3. через Горюново: \(\frac{\sqrt{369}}{30}+\frac{27}{50}\approx1.44\) ч;
4. через Доломино: \(\frac{12+27}{50}+\frac{\sqrt{481}}{30}\approx1.78\) ч;
5. через Егорки и Жилино: \(\frac{12+4+12}{50}+\frac{\sqrt{666}}{30}+\frac{12}{50}\approx1.45\) ч.

Минимальное время — \(0.96\) часа, то есть 57 минут.

Ответ: второй маршрут — по шоссе через Ванютино.