Дайте развернутый ответ. Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

По условию, \( u = 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + u = v + 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - u = v - 2 \) км/ч.

Расстояние, пройденное лодкой в одну сторону, равно \( S = 297 \) км.

Время в пути против течения: \( t_1 = \frac{S}{v - u} = \frac{297}{v - 2} \) часов.

Время в пути по течению: \( t_2 = \frac{S}{v + u} = \frac{297}{v + 2} \) часов.

По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Значит, \( t_1 - t_2 = 3 \).

\( \frac{297}{v - 2} - \frac{297}{v + 2} = 3 \)

Вынесем 297 за скобки:

\( 297 \left( \frac{1}{v - 2} - \frac{1}{v + 2} \right) = 3 \)

Разделим обе части на 3:

\( 99 \left( \frac{1}{v - 2} - \frac{1}{v + 2} \right) = 1 \)

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю \( (v - 2)(v + 2) = v^2 - 4 \):

\( \frac{(v + 2) - (v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = \frac{v + 2 - v + 2}{v^2 - 4} = \frac{4}{v^2 - 4} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 99 \cdot \frac{4}{v^2 - 4} = 1 \)

\( \frac{396}{v^2 - 4} = 1 \)

\( v^2 - 4 = 396 \)

\( v^2 = 396 + 4 \)

\( v^2 = 400 \)

\( v = \sqrt{400} \)

\( v = 20 \) (скорость не может быть отрицательной, поэтому берем положительный корень).

Скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, \( 20 > 2 \), что удовлетворяет условию.

Ответ: 20 км/ч