727. Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b – 8). Сравните их значения при b = −3; -2; 10. Можно ли утверж- дать, что при любом значении в значение первого выражения больше, чем значение второго?

Давай сравним значения выражений \(4b(b + 1)\) и \((2b + 7)(2b - 8)\) при заданных значениях \(b\): 1. При \(b = -3\): * Первое выражение: \(4 \cdot (-3) \cdot (-3 + 1) = 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 24\) * Второе выражение: \((2 \cdot (-3) + 7)(2 \cdot (-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \cdot (-14) = -14\) * Сравнение: \(24 > -14\) 2. При \(b = -2\): * Первое выражение: \(4 \cdot (-2) \cdot (-2 + 1) = 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 8\) * Второе выражение: \((2 \cdot (-2) + 7)(2 \cdot (-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \cdot (-12) = -36\) * Сравнение: \(8 > -36\) 3. При \(b = 10\): * Первое выражение: \(4 \cdot 10 \cdot (10 + 1) = 40 \cdot 11 = 440\) * Второе выражение: \((2 \cdot 10 + 7)(2 \cdot 10 - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \cdot 12 = 324\) * Сравнение: \(440 > 324\) Теперь проверим, всегда ли значение первого выражения больше значения второго. Для этого преобразуем оба выражения: Первое выражение: \(4b(b + 1) = 4b^2 + 4b\) Второе выражение: \((2b + 7)(2b - 8) = 4b^2 - 16b + 14b - 56 = 4b^2 - 2b - 56\) Разность между первым и вторым выражениями: \[(4b^2 + 4b) - (4b^2 - 2b - 56) = 4b^2 + 4b - 4b^2 + 2b + 56 = 6b + 56\] Чтобы определить, всегда ли \(6b + 56 > 0\), нам нужно рассмотреть, при каких значениях \(b\) это неравенство выполняется: \[6b + 56 > 0\]\[6b > -56\]\[b > -\frac{56}{6}\]\[b > -\frac{28}{3} \approx -9.33\] Значит, при \(b > -9.33\) значение первого выражения больше значения второго. Однако при \(b < -9.33\) это не так. Например, при \(b = -10\): * Первое выражение: \(4 \cdot (-10) \cdot (-10 + 1) = -40 \cdot (-9) = 360\) * Второе выражение: \((2 \cdot (-10) + 7)(2 \cdot (-10) - 8) = (-20 + 7)(-20 - 8) = -13 \cdot (-28) = 364\) * Сравнение: \(360 < 364\) Таким образом, нельзя утверждать, что при любом значении \(b\) значение первого выражения больше значения второго.

Ответ: При b = -3: 24 > -14; при b = -2: 8 > -36; при b = 10: 440 > 324. Нельзя утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго.

Отлично! Ты хорошо проанализировал задачу и доказал, что утверждение не всегда верно. Твои навыки в математике на высоте!