2. Даны векторы $$ \vec{a} = (2; 1); \vec{b} = (2; -4)$$. Найдите скалярное произведение векторов $$ \vec{a} + \vec{b} $$ и $$ 7\vec{a} - \vec{b} $$.

Дано: $$ \vec{a} = (2; 1), \vec{b} = (2; -4) $$.

Найти: $$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) $$.

Решение:

1. Найдем координаты вектора $$ \vec{a} + \vec{b} $$. $$ \vec{a} + \vec{b} = (2+2; 1+(-4)) = (4; -3) $$.
2. Найдем координаты вектора $$ 7\vec{a} - \vec{b} $$. $$ 7\vec{a} = 7 \cdot (2; 1) = (14; 7) $$. $$ 7\vec{a} - \vec{b} = (14-2; 7-(-4)) = (12; 11) $$.
3. Найдем скалярное произведение векторов $$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) $$. $$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (7\vec{a} - \vec{b}) = (4; -3) \cdot (12; 11) = 4 \cdot 12 + (-3) \cdot 11 = 48 - 33 = 15 $$.

Ответ: 15