Даны точки А (-2; 3), В (1; −1), C (2; 4). Найдите: 1) координаты векторов АВ и СА; 2) модули векторов АВ и СА; 3) координаты вектора MN = 3AB – 2CA; 4) скалярное произведение векторов АВ и СА; 5) косинус угла между векторами АВ и СА.

1) Координаты векторов АВ и СА:

$$\vec{AB} = (1 - (-2); -1 - 3) = (3; -4)$$ $$\vec{CA} = (-2 - 2; 3 - 4) = (-4; -1)$$

2) Модули векторов АВ и СА:

$$ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ |\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} $$

3) Координаты вектора MN = 3AB – 2CA:

$$\vec{MN} = 3 \cdot (3; -4) - 2 \cdot (-4; -1) = (9; -12) - (-8; -2) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$$

4) Скалярное произведение векторов АВ и СА:

$$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$$

5) Косинус угла между векторами АВ и СА:

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$$