412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, катетом AC = 12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Решение: 1. Обозначим сторону квадрата за $$x$$. Тогда $$CD = DE = EF = FC = x$$. 2. Так как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то $$AC = BC = 12$$ см. 3. Пусть $$CF$$ лежит на $$AC$$, а $$CD$$ лежит на $$BC$$. Тогда $$AF = AC - CF = 12 - x$$ и $$BD = BC - CD = 12 - x$$. 4. Треугольник $$AFE$$ подобен треугольнику $$EBD$$ и подобен треугольнику $$ABC$$ (так как $$EF \parallel BC$$ и $$DE \parallel AC$$). 5. Из подобия треугольников $$AFE$$ и $$ABC$$ следует, что $$\frac{AF}{FE} = \frac{AC}{BC}$$. Подставляем значения: $$\frac{12-x}{x} = \frac{12}{12} = 1$$. 6. Решаем уравнение $$12 - x = x$$. Получаем $$2x = 12$$, следовательно, $$x = 6$$ см. 7. Периметр квадрата равен $$4x = 4 \cdot 6 = 24$$ см. Ответ: 24 см