4. Дано: cos B = 1/3, AB = 4 (рис. 7.155). Найти: НК.

Ответ: HK = \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

1. Рассмотрим треугольник ABH на рисунке 7.155. Так как \(cos B = \frac{1}{3}\) и AB = 4, то AH = AB * cos B = 4 * (1/3) = \(\frac{4}{3}\).
2. В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора: AB² = AH² + BH², 4² = (\(\frac{4}{3}\))² + BH², 16 = \(\frac{16}{9}\) + BH², BH² = 16 - \(\frac{16}{9}\) = \(\frac{144 - 16}{9}\) = \(\frac{128}{9}\), BH = \(\sqrt{\frac{128}{9}}\) = \(\frac{8\sqrt{2}}{3}\).
3. Так как HK - средняя линия, то HK = 1/2 BH = \(\frac{1}{2}\) * \(\frac{8\sqrt{2}}{3}\) = \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\).

Ответ: HK = \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)