3. Дано: АВ = 24 см; СВ = 16 см; АМ = 9 см; ВN = 10 см. Доказать: МN || AC.

Дано: $$AB = 24 \text{ см}$$, $$CB = 16 \text{ см}$$, $$AM = 9 \text{ см}$$, $$BN = 10 \text{ см}$$. Доказать: $$MN || AC$$.

Доказательство:

$$MB = AB - AM = 24 \text{ см} - 9 \text{ см} = 15 \text{ см}$$.

$$NC = BC - BN = 16 \text{ см} - 10 \text{ см} = 6 \text{ см}$$.

Рассмотрим отношения сторон:

$$\frac{MB}{AB} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$$ $$\frac{BN}{BC} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$$

Так как $$\frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC}$$, и угол B - общий, то треугольник $$MBN$$ подобен треугольнику $$ABC$$ по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Если треугольники подобны, то соответствующие углы равны. Следовательно, угол $$BMN$$ равен углу $$BAC$$. Это соответственные углы при прямых $$MN$$ и $$AC$$ и секущей $$AB$$. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, $$MN || AC$$.

Ответ: Доказано, что $$MN || AC$$.