Дано: AD = BC, AB = CD. Доказать: AD || BC.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию задачи, AD = BC и AB = CD. Нужно доказать, что AD || BC.

Для доказательства воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Следовательно, противоположные стороны параллельны.

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle CDA$$.

2. $$AD = BC$$ (по условию).

3. $$AB = CD$$ (по условию).

4. $$AC$$ — общая сторона.

5. Следовательно, $$\triangle ABC = \triangle CDA$$ по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).

6. Из равенства треугольников следует равенство углов: $$\angle BCA = \angle CAD$$ и $$\angle BAC = \angle ACD$$.

7. $$\angle BCA$$ и $$\angle CAD$$ — накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей AC.

8. Так как накрест лежащие углы равны, то AD || BC.

Ответ: AD || BC, что и требовалось доказать.