3) Дано: ABCD - параллелограмм, AC - диагональ, $$AC = \sqrt{19}$$, $$BC = 2\sqrt{3}$$, $$\angle A = 30^\circ$$. Найти: AB.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC. Пусть $$AB = x$$. Тогда: 1. Запишем теорему косинусов для треугольника ABC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot \cos{\angle B}$$ 2. Найдем угол B, учитывая, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам: $$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$ Следовательно, $$\cos{\angle B} = \cos{150^\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. Подставим известные значения в теорему косинусов: $$(\sqrt{19})^2 = x^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 cdot x cdot 2\sqrt{3} cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$19 = x^2 + 12 + 6x$$ $$x^2 + 6x - 7 = 0$$ 4. Решим квадратное уравнение: $$x^2 + 6x - 7 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 cdot 1 cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ 5. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение: $$AB = x = 1$$ Ответ: AB = 1.